放球问题,n个球方放入m个盒有多少种放法
下图出处:
https://baike.baidu.com/item/%E6%94%BE%E7%90%83%E9%97%AE%E9%A2%98/12740706?fr=aladdin
这个太全了,做题主要是这几类球大于盒。
无一空盒的情况
一、6个相同的球放入3个相同的盒子,有3种(114,123,222)
二、6个不同的球放入3个不同的盒子,有540种
解法一
因为球和盒子都不相同,所以因分开考虑
第一:盒子里的球的数量有三种可能:
2,2,2
1,1,4
1,2,3
第二:对于2,2,2 ,由于球的数量是相同的,只用考虑球的分配,六选二,四选二,二选二,共90 种
第三:对于1,1,4,同第二步,我门只用考虑4个球所在的盒子,三选一,然后就是分配球,六选四,二选一,一选一,共90 种
第四:对于1,2,3,由于球的数量均不相同,它们所在的盒子均需考虑,即自由排列,共六种排法,接着是分球,六选一,五选二,三选三,最后共有360 种
最后的答案即是540
解法二
首先每个球有三种不同的放置方法,所以六个球有3的6次方种,但这样包含了有有一个盒和有两个盒空着的情况,不合要求 要减去,所以:
空2个:3种
空1个:先选两个盒子C2 3 然后一个球有两种放法减去全放在一个盒子的情况(2的6次方-2) C2 3 *(2的6次方)=186种
总共:3的6次方-(3+(C2 3(2的6次方))=540
三、6个相同球的放入3个不同的盒子 C(5,2)
四、6个不同的球放入3个相同的盒子,S(5,2)(斯特林数,先不计算具体值)
可以为空盒的情况
一、 6个相同的球放入3个不同的盒子 C(6+3-1,6),隔板法。
组合方法,相当于x1+x2+x3=6 的非负整数解的个数。C(6+3-1,6)。同样,如果是无一空盒,那么,可以理解为(x1+1)+(x2+1)+(x3+1)=6的正整数解的个数C(3+3-1,3)=C(5,2)=10。